η broadening artifact

TBtrans의 Green 함수는

$$G^r(E) = \left[(E + i\eta)\,S - H - \Sigma_L - \Sigma_R\right]^{-1}$$

로 계산되고, 여기서 $\eta$(TBT.Contours.Eta)는 역행렬을 안정화하기 위한 수치 허수부다. 물리량이 아니다. $\eta$는 스펙트럼 구조를 Lorentzian 폭 $\sim\eta$로 broaden하므로, 물리적 폭이 $\eta$보다 좁은 sharp resonance, band edge, 1D van Hove 특이점이 있는 계에서는 과대한 $\eta$가 정성적 해석을 왜곡할 수 있다.

과대 η의 증상

증상	메커니즘
sharp resonance·band edge가 과도하게 broaden됨	Lorentzian convolution — 폭이 $\eta$보다 좁은 구조를 분해하지 못함
$T(E)$ 인공 억제	band edge 근처에서 스펙트럼 무게가 gap 쪽으로 새어 나가 채널이 덜 열린 것처럼 보임
ballistic plateau 소실	완벽한 주기 시스템조차 정수 $T$가 정수 아래로 깎이고 모서리가 둥글어짐
인공적 길이 의존성	broaden된 공명 꼬리가 device 길이에 따라 다르게 감쇠 — 길이를 늘리면 $T$가 계속 줄어드는 지수 감쇠처럼 보임

특히 마지막 증상이 위험하다. "$T(E_F)$가 device 길이에 지수적으로 감소한다"는 관찰은 tunneling 물리로 그럴듯하게 읽히지만, ballistic이어야 할 pristine 시스템에서 그런 경향이 보인다면 물리가 아니라 $\eta$ artifact를 의심해야 한다. 이 상태에서는 scattering region 길이 수렴 판정 자체가 불가능하다.

진단 절차

그림 1. 국소 준위가 결합된 같은 device를 $\eta$ = 0.2 / 0.05 / 0.001 eV로 계산한 $T(E)$ — 과대 $\eta$는 plateau를 인위적으로 낮추고 dip 구조를 넓혀 왜곡한다. $\eta$를 낮춰 가며 곡선이 수렴하는지 확인한다. (TB 모델 실계산, _scripts/fig_examples_batch.py)

1. η 시리즈 — 같은 시스템을 $\eta = 0.05 \rightarrow 0.005 \rightarrow 0.001$ eV로 낮춰가며 $T(E)$를 겹쳐 그린다. 곡선이 $\eta$에 더 이상 의존하지 않는 지점이 수렴이다. $\eta$를 한 단계 낮췄을 때 결과가 크게 바뀐다면 이전 값은 과대였던 것이다.
2. ballistic 리트머스 — 불순물 없는 pristine chain에서 $T(E)$가 정수 plateau를 회복하는지 확인한다. 1D 완전 결정의 $T(E)$는 해당 에너지의 밴드 수와 같아야 한다. plateau가 깎여 있으면 $\eta$가 아직 크다.
3. 에너지 격자 동반 축소 — $\eta$를 낮추면 스펙트럼 구조가 좁아지므로, 에너지 grid 간격 delta도 함께 줄여야 한다. 격자보다 좁은 peak는 sampling에 걸리지 않거나 뾰족한 봉우리가 들쭉날쭉하게 aliasing된다. 경험 법칙: delta는 $\eta$와 같은 자릿수 이하로. 이 튜토리얼의 표준 설정($\eta = 0.001$ eV, delta $= 0.001$ eV)이 그 예다.
4. 길이 의존 재검사 — $\eta$ 수렴 후 길이 시리즈를 다시 돌려, 이전에 보이던 길이 의존이 사라지는지 확인한다.

혼동하기 쉬운 것들

• contour method는 $T(E)$와 무관하다. 에너지 적분 quadrature 방식(simpson, mid-rule 등)은 $T(E)$ 곡선 값에는 영향이 없고, $I = \int T(E)\,[f_L - f_R]\,dE$ 전류 적분의 정확도에만 영향을 준다. $T(E)$ 모양이 이상할 때 quadrature를 바꾸는 것은 원인과 무관한 처방이다.
• 전극 self-energy의 η는 별개다. 전극 표면 Green 함수 재귀 계산에도 자체 broadening이 있으며, device의 $\eta$와 독립적으로 설정된다. 기본값 연동 규칙과 옵션 이름은 TBtrans 매뉴얼에서 확인한다.
• η는 음수가 될 수 없다. retarded Green 함수의 정의상 양수만 유효하다.

1D 시스템의 특수성

3D/2D 접합에서는 transverse k-point 평균이 스펙트럼을 자연스럽게 평균화하므로 $\eta$의 상대적 영향이 작다. 반면 vacuum으로 고립된 1D chain은 transverse k 평균이 없어 $\eta$ 수렴에 특히 민감하다. 1D band edge의 $1/\sqrt{E}$ van Hove 특이점도 좁은 구조를 만든다. 따라서 이 튜토리얼은 $\eta = 0.001$ eV에서 시작하되, 반드시 계별 수렴 검사를 요구한다. 더 작은 $\eta$에는 더 촘촘한 에너지 grid가 필요하며, TBtrans 에너지점 병렬화로 계산 비용을 관리할 수 있다.

참고문헌

• TBtrans User Guide: https://docs.siesta-project.org/ — TBT.Contours.Eta 및 전극 broadening 옵션
• S. Datta, Electronic Transport in Mesoscopic Systems (Cambridge University Press, 1995) — broadening과 level width의 일반론