Mini-project: polyyne–cumulene 접합

튜토리얼 전체를 관통하는 종합 프로젝트다. 금속적인 cumulene 전극 사이에 반도체적인 polyyne 조각을 끼운 접합을 만들고, 전극 계산부터 eigenchannel 분석까지 전 워크플로우를 스스로 돌려 tunneling 감쇠 상수 $\beta$ 를 추출한다. 각 단계의 조작법은 해당 챕터에 이미 있으므로, 이 문서는 프로젝트의 흐름·분석·체크포인트에 집중한다.

프로젝트 목표

• cumulene 전극(챕터 05)을 재사용해 polyyne 6원자 접합의 0 V TranSIESTA → TBtrans → I–V → eigenchannel 전체 체인을 완주한다.
• polyyne 조각이 tunneling barrier로 작동함을 $T(E)$와 eigenchannel에서 확인한다.
• polyyne 길이 4/6/8원자 시리즈에서 $T(E_F)$의 지수 감쇠를 확인하고 감쇠 상수 $\beta$를 추출한다.

물리 배경 — Peierls 이완과 tunneling barrier

무한 탄소 원자 chain은 두 가지 결합 패턴을 가질 수 있다.

• cumulene — 모든 결합이 등간격($d = 1.29\ \text{Å}$). $E_F$에서 축퇴된 $\pi$ 밴드 2개가 지나는 금속이다. 튜토리얼 본편의 전극이 바로 이 구조다.
• polyyne — 결합 길이가 교대로 갈라진(bond-length alternation, BLA) 구조. 여기서는 $1.24/1.34\ \text{Å}$를 쓴다.

1차원 금속은 격자 이량체화(dimerization)에 대해 불안정하다 — Peierls 불안정성. 등간격 chain이 dimerize하면 Brillouin zone 경계에서 $\pi$ 밴드가 갈라지며 $E_F$에 gap이 열리고, 계는 총 에너지를 낮춘다. gap의 크기는 BLA에 민감하다.

그림 1. cumulene(금속)과 polyyne(BLA, gap) 밴드 개형(tight-binding 개념도) — 전극은 $E_F$를 가로지르는 금속, scattering region은 gap이 열린 barrier라는 이 접합의 설계 근거다.

이 프로젝트의 접합은 그 대비를 그대로 소자로 만든 것이다. 금속(cumulene 전극) 사이에 gap이 열린 조각(polyyne)을 끼우면, $E_F$ 근처의 전자는 polyyne 구간에서 진행파로 존재할 수 없고 evanescent 상태로 감쇠하며 통과한다. 결과는 tunneling의 보편적 형태다.

$$T(E_F) \approx T_c\, e^{-\beta L}$$

$L$은 barrier(polyyne 구간) 길이, $T_c$는 접촉이 정하는 앞인자다. $\beta$는 barrier 내부 evanescent 상태의 감쇠율 $\kappa$로 결정되며($\beta = 2\kappa(E_F)$), 이는 barrier 물질의 complex band structure가 정하는 고유량이다 (Tomfohr & Sankey, Phys. Rev. B 65, 245105 (2002)). gap이 클수록, $E_F$가 gap 중앙에 가까울수록 $\beta$가 크다. 이 프로젝트의 최종 산출물은 길이 시리즈에서 실측한 $\beta$다.

시스템 정의

device는 튜토리얼 본편(챕터 06)의 C19N 구조에서 scattering region만 polyyne으로 교체한 것이다. 전극과 계산 표준(DZP, MeshCutoff 300 Ry, SCF.DM.Tolerance 1.0d-8, PseudoDojo PBE C.psml)은 본편과 동일하다.

영역	구성	비고
왼쪽 전극	cumulene C 8원자 (2셀, $d = 1.29\ \text{Å}$)	챕터 05 전극 그대로
scattering region	polyyne C $N$원자, bond $1.24/1.34\ \text{Å}$ 교대	양 끝 bond가 triple($1.24\ \text{Å}$)이 되도록 배열
오른쪽 전극	cumulene C 8원자 (2셀)	왼쪽과 동일
interface bond	$1.29\ \text{Å}$ 고정	cumulene 값. 미이완 ideal geometry (아래 note)

polyyne 원자 수가 짝수이면 내부 bond 수가 홀수라 bond 순서가 palindrome이 되고, 접합 전체가 좌우 mirror-symmetric한 대칭 접합이 된다. 길이 시리즈는 다음과 같다.

case	원자 수	polyyne 구간 길이 $L$ ($\text{Å}$)	cell $c$ ($\text{Å}$)
p4	20	3.82	25.75
p6	22	6.40	28.33
p8	24	8.98	30.91

$L$은 polyyne 첫 원자와 마지막 원자 사이 거리로 정의했다. 구조 생성 스크립트(build_polyyne_junction.py)와 세 struct 파일은 저장소의 code/miniproject/에 있다. p6 구조는 다음과 같다.

struct_p6.fdf

# polyyne(6C)-cumulene junction device -- generated by build_polyyne_junction.py
# left cumulene 8C + polyyne 6C (1.24/1.34 Ang) + right cumulene 8C, interface 1.29 Ang
# ideal (unrelaxed) geometry, chain at (7.5, 7.5) Ang, transport along z
NumberOfAtoms    22
NumberOfSpecies  1

%block ChemicalSpeciesLabel
  1  6  C
%endblock ChemicalSpeciesLabel

LatticeConstant 1.0 Ang
%block LatticeVectors
  15.000000   0.000000    0.000000
   0.000000  15.000000    0.000000
   0.000000   0.000000   28.330000
%endblock LatticeVectors

AtomicCoordinatesFormat Ang
%block AtomicCoordinatesAndAtomicSpecies
   7.500000   7.500000   0.000000  1
   7.500000   7.500000   1.290000  1
   7.500000   7.500000   2.580000  1
   7.500000   7.500000   3.870000  1
   7.500000   7.500000   5.160000  1
   7.500000   7.500000   6.450000  1
   7.500000   7.500000   7.740000  1
   7.500000   7.500000   9.030000  1
   7.500000   7.500000  10.320000  1
   7.500000   7.500000  11.560000  1
   7.500000   7.500000  12.900000  1
   7.500000   7.500000  14.140000  1
   7.500000   7.500000  15.480000  1
   7.500000   7.500000  16.720000  1
   7.500000   7.500000  18.010000  1
   7.500000   7.500000  19.300000  1
   7.500000   7.500000  20.590000  1
   7.500000   7.500000  21.880000  1
   7.500000   7.500000  23.170000  1
   7.500000   7.500000  24.460000  1
   7.500000   7.500000  25.750000  1
   7.500000   7.500000  27.040000  1
%endblock AtomicCoordinatesAndAtomicSpecies

원자 1–8이 왼쪽 전극, 9–14가 polyyne(간격이 $1.24/1.34$로 교대하는 구간), 15–22가 오른쪽 전극이다. %block TBT.Atoms.Device 같은 원자 범위 블록을 채울 때 이 번호를 쓴다.

그림 2. p6 접합의 ideal geometry(struct_p6.fdf 렌더, C 22원자) — 양쪽 8원자 cumulene 전극($d = 1.29$ Å) 사이 가운데 6원자 polyyne 구간(원자 9–14)의 결합 길이가 $1.24/1.34$ Å로 교대한다(BLA).

interface geometry에 대해

interface bond를 $1.29\ \text{Å}$로 고정한 것은 $\beta$의 정의를 깔끔하게 유지하기 위한 교육용 선택이다. 실제 연구라면 접합 전체를 이완(챕터 03)해 interface에서 BLA가 어떻게 완화되는지 반영해야 하며, 이는 $T_c$(앞인자)를 바꾼다. 확장 과제 1에서 다룬다.

권장 디렉토리 구조는 본편 관례를 따른다.

miniproject/
├── 01_electrode/          # 챕터 05의 cumulene 전극 (재사용)
├── p4/
│   └── 0bias/             # TranSIESTA 0 V + TBtrans
├── p6/
│   └── 0bias/
└── p8/
    └── 0bias/

단계별 진행

단계 1 — 전극 (재사용)

챕터 05의 cumulene 전극(C 4원자, $c = 5.16\ \text{Å}$, SystemLabel Electrode)을 그대로 쓴다. 이미 본편에서 계산했다면 Electrode.TSHS를 재계산할 필요가 없다 — 모든 case가 같은 전극 파일을 상대경로로 참조한다.

체크포인트: Electrode.TSHS 존재. 전극 밴드가 $E_F$를 가로지르는 금속인지(cumulene $\pi$ 밴드 2개) 챕터 02 방식으로 확인.

단계 2 — device 0 V TranSIESTA

챕터 06의 0bias/ 셋업에서 구조 파일만 struct_p6.fdf로 바꾼다. 원자 수가 20에서 22로 늘었으므로 원자 범위가 들어가는 블록(전극 영역 지정, TBT.Atoms.Device 등)을 22원자 기준으로 갱신해야 한다 — 이 범위 갱신 누락이 가장 흔한 실수다.

체크포인트: SCF 수렴(SCF.DM.Tolerance 1.0d-8 기준), trans.TSHS 생성. device 안 전극 영역(원자 1–8, 15–22)의 전위·밀도가 bulk 전극과 일치하는지 — scattering region이 전극을 침범하면 Advanced: scattering region 수렴대로 전극 셀을 늘린다.

단계 3 — TBtrans $T(E)$

챕터 07과 동일하게 돌린다. 튜토리얼 표준: 에너지 그리드 $[-3, 3]\ \mathrm{eV}$, TBT.Contours.Eta 0.001 eV, 그리드 간격은 $\eta$보다 촘촘하게.

체크포인트: $T(E)$가 $E_F$ 주변 gap 에너지 구간에서 강하게 억제되고($T(E_F) \ll 1$), gap 밖에서 회복되는 barrier 형태인지. 본편 C19N의 $T(E)$와 겹쳐 그려 보면 "impurity 산란"과 "gap tunneling"의 차이가 한눈에 보인다.

단계 4 — I–V (대칭 window)

챕터 08의 iv_zerobias.py를 그대로 적용한다. 대칭 window $\mu_{L,R} = E_F \pm eV/2$ 규약을 유지한다.

체크포인트: $I(-V) = -I(V)$ 반대칭 성립 — 이 접합은 mirror-symmetric이므로 비대칭이 보이면 window 규약이 잘못된 것이다. 낮은 bias 기울기가 $G_0\,T(E_F)$와 일치. 같은 bias에서 본편 C19N보다 전류가 자릿수로 작음(barrier이므로).

단계 5 — eigenchannel

챕터 10 방식으로 $E_F$에서 eigenchannel을 분해·시각화한다.

체크포인트: 상위 채널 2개(축퇴 $\pi_x/\pi_y$)의 투과 고유값 $\tau_n$이 서로 비슷하고 둘 다 1보다 훨씬 작음. $|\psi|^2$의 $z$-profile이 왼쪽 전극에서 크고 polyyne 구간을 지나며 지수적으로 감쇠하는 모양 — tunneling의 실공간 그림이다.

단계 6 — 길이 시리즈와 $\beta$ 추출

struct_p4.fdf, struct_p8.fdf로 단계 2–3을 반복한다(원자 수·범위 블록·cell 길이가 case마다 다름에 주의). 세 case의 $T(E_F)$를 모아 $\ln T(E_F)$ 대 $L$을 직선 fit한다.

beta_fit.py

"""polyyne 길이 시리즈에서 tunneling 감쇠 상수 beta를 추출한다."""
import numpy as np
import sisl

cases = {4: 3.82, 6: 6.40, 8: 8.98}   # N -> polyyne 구간 길이 L (Ang)

L, lnT = [], []
for N, length in sorted(cases.items()):
    tbt = sisl.get_sile(f"p{N}/0bias/trans.TBT.nc")
    E = np.asarray(tbt.E)                    # E - E_F (eV)
    T = np.asarray(tbt.transmission())
    TEf = np.interp(0.0, E, T)               # T(E_F)
    L.append(length)
    lnT.append(np.log(TEf))
    print(f"p{N}: T(E_F) = {TEf:.3e}")

slope, intercept = np.polyfit(L, lnT, 1)
print(f"beta = {-slope:.3f} 1/Ang   (T_c = {np.exp(intercept):.3f})")

체크포인트: 세 점이 $\ln T$–$L$ 평면에서 직선에 놓임(지수 감쇠의 판정 기준). fit의 잔차가 크면 아직 접촉 효과가 지배하는 짧은 길이 영역이라는 뜻이다.

기대 결과의 형태

그림 3. SSH(polyyne형) 조각 길이별 $T(E_F)$ — semilog에서 직선이면 지수 감쇠이고 기울기가 감쇠 상수 $\beta \approx 0.25$/atom이다(TB 모델값 — DFT 결과의 $\beta$와는 다르다). 이 미니프로젝트에서 얻을 결과의 형태다. (_scripts/fig_examples_batch.py)

구체적 수치는 basis·functional·geometry에 따라 달라지므로, 결과를 판정하는 것은 다음 형태들이다.

• $T(E)$: $E_F$를 포함하는 에너지 구간에서 깊은 골(polyyne gap), gap 가장자리 밖에서 $T$가 1 이상으로 회복. polyyne이 길수록 gap 안 $T$가 낮아지되 gap의 위치·폭은 거의 그대로 — barrier가 길어져도 barrier 높이는 불변이라는 tunneling 그림과 일치해야 한다.
• I–V: 원점 반대칭의 낮은 전류. 낮은 bias에서 선형, window가 gap 가장자리에 접근하면 초선형으로 증가.
• eigenchannel: polyyne 구간에서 단조 지수 감쇠하는 $|\psi|^2$.
• $\beta$: 세 길이에서 일관된 양수 값. BLA가 만든 gap을 뚫는 tunneling이므로, gap을 키우면(확장 과제 3) $\beta$도 커져야 한다.

체크포인트 요약

단계	산출물	통과 기준
1. 전극	Electrode.TSHS	밴드가 $E_F$를 가로지름 (금속)
2. device 0 V	trans.TSHS	SCF 수렴, device 내 전극 영역이 bulk-like
3. TBtrans	trans.TBT.nc	$T(E)$에 gap 골, $T(E_F) \ll 1$
4. I–V	iv_zerobias.dat	$I(-V) = -I(V)$, 낮은 bias 기울기 $= G_0 T(E_F)$
5. eigenchannel	채널별 $\tau_n$, $\lvert\psi\rvert^2$ profile	polyyne 구간 지수 감쇠
6. 시리즈	$\beta$	$\ln T(E_F)$ 대 $L$ 직선성

확장 과제

1. interface 이완. p6 접합을 챕터 03 방식으로 이완한 뒤 단계 2–3을 반복하라. interface bond와 근처 BLA가 어떻게 바뀌고, $T(E_F)$와 $\beta$ fit의 앞인자 $T_c$에 어떤 영향을 주는가?

2. finite bias. p6에 챕터 09의 bias 체인을 적용해 zero-bias 근사 I–V와 비교하라. barrier 접합에서 두 결과가 갈라지기 시작하는 bias는 어디인가?

3. BLA와 $\beta$. BLA를 줄인 구조($1.27/1.31\ \text{Å}$)로 시리즈를 다시 만들어 $\beta$를 추출하라(build_polyyne_junction.py의 D_TRIPLE/D_SINGLE만 바꾸면 된다). gap이 작아지면 $\beta$가 작아지는 경향이 complex band 그림과 일치하는지 확인하라.

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Ref: R. E. Peierls, Quantum Theory of Solids (Oxford UP, 1955) (Peierls 불안정성); J. K. Tomfohr and O. F. Sankey, Phys. Rev. B 65, 245105 (2002) (complex band와 감쇠 상수); S. Datta, Quantum Transport: Atom to Transistor (Cambridge UP, 2005).