08. I–V 특성 — Landauer 적분과 대칭 bias window

챕터 07에서 C19N chain의 transmission $T(E)$ 를 얻었다. 이 장에서는 그 $T(E)$ 를 Landauer 공식에 넣어 I–V 곡선을 계산한다. 계산 자체는 Python 적분이지만, bias window를 어디에 놓는가라는 규약 하나가 결과의 물리적 해석을 좌우한다. 대칭 window가 왜 표준인지, 비대칭 window가 어떤 인공적 정류 신호를 만드는지가 이 장의 핵심이다.

학습 목표

zero-bias 근사의 의미 — 고정된 $T(E)$ 를 bias window로 적분하는 것 — 와 그 적용 한계를 이해한다.
대칭 bias window $\mu_{L,R} = E_F \pm eV/2$ 의 근거를 설명한다.
비대칭 window가 대칭 접합에서 인공적 정류 신호를 만드는 메커니즘을 파악한다.
sisl로 trans.TBT.nc에서 $T(E)$ 를 읽어 trapezoidal 적분으로 I–V를 산출한다.
finite-temperature 확장(Fermi–Dirac weighting)의 형태를 안다.

이론 — zero-bias 근사와 Landauer 적분

절대영도 Landauer 공식에서 Fermi 함수 차이 $f_L - f_R$ 은 두 화학 퍼텐셜 사이에서 1, 밖에서 0인 계단이 된다. 따라서 전류는 $T(E)$ 를 bias window로 적분한 것이다.

I(V) = \frac{2e}{h}\int_{\mu_R}^{\mu_L} T(E)\,dE

여기서 $T(E)$ 로 0 V에서 수렴한 Hamiltonian의 transmission을 그대로 쓰는 것이 zero-bias 근사다. 이는 Landauer 그림 [1]의 저전압 근사이며, bias가 걸려도 $T(E)$ 가 변하지 않는다고 가정한다. 따라서 bias가 작고 screening이 좋은 계에서만 유효하다. bias에 따른 $T(E)$ 변형까지 포함하려면 bias마다 자기일관 계산을 다시 해야 한다 — 그것이 챕터 09의 finite-bias TranSIESTA다.

대칭 bias window

window의 두 끝은 대칭으로 놓는다.

\mu_L = E_F + \frac{eV}{2}, \qquad \mu_R = E_F - \frac{eV}{2}

이 선택은 "bias가 걸릴 때 정전 퍼텐셜 강하가 접합 양쪽에 반반씩 나뉘고, scattering region의 준위는 두 전극의 중간 전위에 머문다"는 가정과 동치다. 좌우가 동등한 대칭 접합에서는 이것이 유일하게 자기모순 없는 선택이다. 대칭 window의 즉각적인 귀결로, 고정된 $T(E)$ 가 어떤 모양이든

I(-V) = \frac{2e}{h}\int_{+eV/2}^{-eV/2} T(E)\,dE = -I(V)

가 정확히 성립한다. 즉 zero-bias 근사 + 대칭 window에서 I–V는 항상 원점 반대칭이고, 정류는 원리적으로 나올 수 없다.

대칭 bias window의 Landauer 적분 개념도

그림 1. 대칭 bias window(개념도) — 전류는 $T(E)$ 곡선 아래 $[\mu_R, \mu_L] = [E_F - eV/2,\ E_F + eV/2]$ 구간(색칠)의 적분이고, 적분 창의 폭이 $eV$ 다.

비대칭 window의 주의 사항 — 인공적 정류 신호

레거시 스크립트 중에는 한쪽 전극을 접지에 고정하는 비대칭 규약 $\mu_L = E_F$ , $\mu_R = E_F - eV$ 를 쓰는 것이 있다. 이 규약으로 zero-bias 근사 적분을 하면

I(+V) \propto \int_{E_F - eV}^{E_F} T\,dE, \qquad I(-V) \propto -\int_{E_F}^{E_F + eV} T\,dE

가 되어, 양의 bias는 $E_F$ 아래의 $T(E)$ 만, 음의 bias는 $E_F$ 위의 $T(E)$ 만 적분한다. $T(E)$ 가 $E_F$ 를 중심으로 비대칭이면(거의 모든 실제 계가 그렇다) $|I(+V)| \neq |I(-V)|$ 가 되고, 이것이 정류비처럼 보인다. 그러나 이는 물리가 아니라 적분 규약이 만든 artifact다. zero-bias 근사에서 $T(E)$ 는 bias에 불변이므로, 대칭 접합의 정류는 원리적으로 불가능하다.

대칭 접합의 I–V에서 비대칭이 보이면 결과보다 먼저 적분 스크립트의 window 규약을 의심하라.
정류나 NDC(negative differential conductance)를 논하려면 bias에 따라 $T(E)$ 가 실제로 변형되는 self-consistent finite-bias 계산(챕터 09)이 필요하다.

참고로 self-consistent finite-bias 계산에서는 $(0, -eV)$ 와 $(+eV/2, -eV/2)$ 가 전체 퍼텐셜 기준만 다른 gauge 선택이라 물리가 같다. 문제가 되는 것은 고정된 $T(E)$ 에 사후 적분하는 zero-bias 근사에서의 window 위치다.

Finite temperature

유한 온도에서는 계단이 Fermi–Dirac 분포로 부드러워진다.

I(V) = \frac{2e}{h}\int T(E)\,\bigl[f(E-\mu_L) - f(E-\mu_R)\bigr]\,dE

window 가장자리가 $k_BT$ ( $300\ \mathrm{K}$ 에서 약 $25.9\ \mathrm{meV}$ ) 폭으로 퍼지는 효과다. window 끝이 $T(E)$ 의 날카로운 구조(공명, antiresonance)를 지날 때 두 결과의 차이가 가장 크다.

준비물

챕터 07의 TBtrans 계산이 끝난 0bias/trans.TBT.nc가 필요하다. 튜토리얼 표준대로 에너지 그리드는 $[-3, 3]\ \mathrm{eV}$ , TBT.Contours.Eta 0.001 eV이며 그리드 간격은 $\eta$ 와 같은 1 meV다. window 적분의 해상도가 이 그리드에 그대로 묶이므로, I–V가 목적이라면 그리드를 충분히 촘촘하게 잡는 것이 좋다.

노트

$T(E)$ 는 항상 sisl로 trans.TBT.nc에서 읽는다. TBtrans가 함께 쓰는 AVTRANS 계열 텍스트 출력은 에너지 정렬과 k-평균 처리를 별도로 확인해야 하므로 파싱하지 않는다 — netCDF 경로가 에너지 원점( $E - E_F$ )과 k-평균을 일관되게 처리한다.

적분 코드

iv_zerobias.py
"""zero-bias 근사 I-V: trans.TBT.nc의 T(E)를 대칭 bias window로 적분한다."""
import numpy as np
import sisl
from scipy.constants import e, h

tbt = sisl.get_sile("0bias/trans.TBT.nc")
E = np.asarray(tbt.E)                 # E - E_F (eV)
T = np.asarray(tbt.transmission())    # 첫 두 전극 (Left -> Right)


def current_zero_bias(E, T, V, Ef=0.0):
    """고정 T(E)를 대칭 window [Ef - |V|/2, Ef + |V|/2]로 적분한 전류 (A).

    대칭 window에서 적분 구간은 |V|에만 의존하므로 부호는 마지막에 곱한다.
    I(-V) = -I(V)가 규약에 의해 자동으로 성립한다.
    """
    if V == 0.0:
        return 0.0
    mu_L = Ef + 0.5 * abs(V)
    mu_R = Ef - 0.5 * abs(V)
    mask = (E >= mu_R) & (E <= mu_L)
    integral = np.trapz(T[mask], E[mask])   # eV 단위 적분
    I = (2.0 * e / h) * integral * e        # 마지막 e: eV -> J 환산
    return np.sign(V) * I


bias = np.round(np.arange(-1.0, 1.001, 0.1), 3)
I = np.array([current_zero_bias(E, T, V) for V in bias])

np.savetxt("iv_zerobias.dat",
           np.column_stack([bias, I * 1e6]),
           header="V (V)    I (uA)")

import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(bias, I * 1e6, "o-")
plt.axhline(0.0, color="gray", lw=0.5)
plt.axvline(0.0, color="gray", lw=0.5)
plt.xlabel("V (V)")
plt.ylabel(r"I ($\mu$A)")
plt.savefig("iv_zerobias.png", dpi=200, bbox_inches="tight")

라인 해설:

tbt.E — netCDF에 저장된 에너지 그리드. TBtrans 출력 기준으로 $E - E_F$ (eV)이므로 Ef=0.0이 Fermi 준위다.
tbt.transmission() — 인자를 생략하면 첫 두 전극(Left, Right) 사이 transmission을 k-평균해서 반환한다.
mask — window 안 그리드 점만 골라 np.trapz로 사다리꼴 적분한다. window 끝이 그리드 점 사이에 떨어지면 끝 조각이 잘리므로, 그리드가 촘촘할수록 오차가 작다 (연습문제 3). NumPy 2.0부터는 np.trapz 대신 np.trapezoid를 쓴다.
단위 — $\frac{2e}{h}\int T\,dE$ 에서 적분을 eV로 계산했으므로 J로 바꾸는 $e$ 를 한 번 더 곱하면 결과가 A다. $\mu$ A는 1e6, nA는 1e9를 곱한다.

실행

cd 03_transport
python iv_zerobias.py
head iv_zerobias.dat

출력 분석

TB 모델 I-V 예시

그림 2. TB 모델 $T(E)$ 를 대칭 window로 적분한 I–V — $I(-V)=-I(V)$ 반대칭이고, 낮은 bias 기울기가 $G_0\,T(E_F)$ 점선과 일치한다. (TB 모델 실계산, _scripts/fig_examples_batch.py)

C19N chain(가운데 원자 1개가 N인 대칭 접합)에서 기대되는 곡선의 형태는 다음과 같다.

원점 반대칭. $I(-V) = -I(V)$ 가 수치 오차 범위에서 정확히 성립해야 한다. 깨져 있다면 window 규약이나 적분 코드부터 확인한다.
낮은 bias 선형 구간. $V \to 0$ 에서 기울기는 $G = G_0\,T(E_F)$ 다. pristine cumulene chain이라면 $E_F$ 근처 $\pi$ 채널 2개로 $T(E_F) = 2$ ( $G = 2G_0$ )가 나오지만, N 치환이 두 채널을 산란시켜 $T(E_F)$ 는 그보다 작다. 챕터 07에서 얻은 $T(E_F)$ 값과 기울기가 일치하는지 대조하라. 크기 감각: $T(E_F) = 1$ 인 채널은 $V = 0.1\ \mathrm{V}$ 에서 약 $7.7\ \mu\mathrm{A}$ 를 흘린다.
기울기 변화. window 끝 $\pm eV/2$ 가 $T(E)$ 의 봉우리·골(N impurity가 만든 공명 구조)을 지날 때마다 미분 conductance $dI/dV$ 가 변한다. I–V의 굴곡을 $T(E)$ 그림 위에 window를 그려가며 대응시켜 보면 zero-bias 근사의 구조가 명확해진다.
zero-bias 근사의 한계. 이 곡선에는 정류도 NDC도 없다 — 고정 $T(E)$ 의 단조 적분이기 때문이다. finite-bias 계산(챕터 09)과 낮은 bias 구간에서 일치하는지, 높은 bias에서 얼마나 갈라지는지가 근사의 유효 범위를 알려준다.

Finite-T 확장

Fermi–Dirac weighting을 넣으면 window 함수가 부드러워질 뿐 구조는 같다.

finite-T 버전
def current_finite_T(E, T, V, kT=0.02585, Ef=0.0):
    """Fermi-Dirac weighting을 포함한 Landauer 전류 (A). kT 단위: eV."""
    mu_L = Ef + 0.5 * V
    mu_R = Ef - 0.5 * V
    fL = 1.0 / (np.exp((E - mu_L) / kT) + 1.0)
    fR = 1.0 / (np.exp((E - mu_R) / kT) + 1.0)
    return (2.0 * e / h) * np.trapz(T * (fL - fR), E) * e

$f_L - f_R$ 이 부호를 자동으로 처리하므로 sign/abs 처리가 필요 없고, $kT \to 0$ 에서 계단 window로 수렴한다. 적분 범위가 window 밖으로 몇 $k_BT$ 더 필요하다는 점만 주의한다 — 튜토리얼 그리드 $[-3, 3]\ \mathrm{eV}$ 는 $\pm 1\ \mathrm{V}$ 스캔(window 끝 $\pm 0.5\ \mathrm{eV}$ )에 충분하다.

연습문제

인공적 정류 신호 확인. current_zero_bias를 비대칭 window( $\mu_L = E_F$ , $\mu_R = E_F - eV$ ) 버전으로 바꿔 같은 $T(E)$ 로 I–V를 다시 계산하라. $|I(+1\,\mathrm{V})| / |I(-1\,\mathrm{V})|$ 를 "정류비"로 계산해 보고, 이 값이 $T(E)$ 의 어떤 성질에서 오는지, 왜 물리적 정류가 아닌지 설명하라.
온도 효과. $T = 0$ 과 $T = 300\ \mathrm{K}$ 의 I–V를 같은 그림에 겹쳐 그려라. 두 곡선의 차이가 가장 큰 bias는 어디이고, 그 지점에서 window 끝이 $T(E)$ 의 어떤 구조를 지나고 있는가?
그리드 수렴. 에너지 그리드를 5점마다 1점씩 솎아낸(E[::5], T[::5]) 데이터로 I–V를 다시 계산하고, 원본 대비 상대 오차를 bias의 함수로 그려라. 오차가 낮은 bias에서 특히 큰 이유를 window 안 그리드 점 개수로 설명하라.

Ref: S. Datta, Quantum Transport: Atom to Transistor (Cambridge UP, 2005); 챕터 07 (T(E) 산출), 챕터 09 (self-consistent finite bias).

학습 목표​

이론 — zero-bias 근사와 Landauer 적분​

대칭 bias window​

Finite temperature​

준비물​

적분 코드​

실행​

출력 분석​

Finite-T 확장​

연습문제​