04. NEGF 형식론 — Green 함수와 self-energy

챕터 00에서 전류가 transmission 함수 $T(E)$로 결정됨을 보았다. 이 장은 $T(E)$를 제일원리 Hamiltonian으로부터 계산하는 틀 — 비평형 Green 함수(non-equilibrium Green's function, NEGF) 형식론 — 을 세운다. 열린 양자계를 어떻게 유한한 행렬 문제로 바꾸는지, self-energy와 broadening이 무엇인지, 그리고 TranSIESTA와 TBtrans가 이 형식론의 어느 부분을 각각 담당하는지 정리한다. 이론 장이므로 입력 파일과 실행 섹션은 없다.

학습 목표

• 왼쪽 전극–device–오른쪽 전극으로 분할된 열린 양자계의 Hamiltonian 블록 구조를 이해한다.
• NEGF에 plane-wave가 아닌 국소 궤도(LCAO) 기저가 필요한 이유를 설명한다.
• retarded Green 함수 $G(E)$와 self-energy $\Sigma_{L,R}$, broadening $\Gamma_{L,R}$의 물리적 의미를 파악한다.
• Caroli/Landauer 공식 $T(E) = \mathrm{Tr}[\Gamma_L G \Gamma_R G^\dagger]$와 spectral function–DOS 관계를 익힌다.
• TranSIESTA(자기일관 NEGF)와 TBtrans(후처리 transport)의 역할 분담을 구분한다.

1. 열린 양자계와 공간 분할

수송 문제의 무대는 닫힌 주기계가 아니라 열린 계다. 계를 세 영역으로 나눈다.

• 왼쪽 전극(L) — transport 방향($z$)으로 반무한(semi-infinite)하게 뻗은 주기적 도체
• device(D) — 산란이 일어나는 중심 영역(scattering region). 전극과 다른 원자 배열, 결함, 분자 등이 여기 들어간다
• 오른쪽 전극(R) — 반대쪽 반무한 도체

기저 함수가 공간적으로 국소화되어 있다면 Hamiltonian은 블록 3중대각 구조를 가진다.

$$H = \begin{pmatrix} H_L & V_{LD} & 0 \\ V_{LD}^\dagger & H_D & V_{DR} \\ 0 & V_{DR}^\dagger & H_R \end{pmatrix}$$

L과 R을 직접 잇는 블록이 0인 것이 핵심 가정이다 — device가 충분히 길어 두 전극이 직접 겹치지 않아야 한다. overlap 행렬 $S$도 같은 블록 구조를 가진다(LCAO 기저는 직교하지 않으므로 $S \neq I$).

전체 행렬은 무한 차원이지만, 우리가 알고 싶은 것은 device 블록의 물리량뿐이다. NEGF의 요체는 반무한 전극의 효과를 유한한 device 블록 위의 self-energy로 접어 넣는(fold in) 것이다.

그림 1. 열린 계의 L–C–R 분할(개념도) — 반무한 전극은 self-energy $\Sigma_{L,R}(E)$로 유한한 중앙 영역 $C$(screening region 포함)에 접혀 들어가, 무한 행렬 문제가 유한 행렬 문제로 바뀐다.

2. 왜 국소 궤도(LCAO) 기저인가

위 블록 분할이 성립하려면 기저 함수가 실공간에서 유한한 범위를 가져야 한다. SIESTA의 수치 원자 궤도(numerical atomic orbital)는 지정된 반지름 밖에서 정확히 0이 되므로, Hamiltonian과 overlap 행렬이 희소(sparse)하고 "어느 원자 블록이 어느 원자 블록과 상호작용하는가"가 명확하다. 그래서

1. L–D–R 공간 분할을 행렬 블록 분할로 그대로 옮길 수 있고,
2. 전극의 반무한 경계조건을 주기 블록의 재귀 관계(surface Green 함수)로 처리할 수 있다.

반면 plane-wave 기저는 셀 전체에 퍼져 있어 "이 기저 함수는 왼쪽 전극 소속"이라는 공간 귀속 자체가 불가능하고, 주기 경계조건이 전제라 반무한 전극을 표현할 수 없다. 이것이 NEGF transport를 SIESTA 계열(LCAO)이 담당하고, VASP(plane-wave)은 구조 최적화와 기준 전자구조(챕터 03)를 담당하는 이유다. plane-wave 계산에서 국소화된 Wannier 함수를 구성해 NEGF에 쓰는 우회로도 존재하지만, 이 튜토리얼에서는 다루지 않는다.

3. Retarded Green 함수

device 영역의 retarded Green 함수는 다음과 같이 정의된다.

$$G(E) = \bigl[(E + i\eta)\,S - H - \Sigma_L(E) - \Sigma_R(E)\bigr]^{-1}$$

여기서 $H$, $S$는 device 블록의 Hamiltonian과 overlap 행렬이고(비직교 LCAO라 $S$가 명시적으로 들어간다), $\Sigma_{L,R}$은 다음 절에서 정의할 전극 self-energy, $\eta$는 작은 양수다. 닫힌 계의 Green 함수 $[(E+i\eta)S - H]^{-1}$가 $H$의 고유값에서 극점을 가지는 것과 비교하면, 열린 계에서는 $\Sigma$가 그 극점들을 복소평면으로 밀어낸다 — 준위가 이동하고(self-energy의 실수부), 유한한 폭을 얻는다(허수부). $G(E)$의 크기는 device 행렬 차원(궤도 수)이므로, 무한한 열린 계 문제가 에너지마다 유한 행렬의 역행렬 한 번으로 환원된 것이다.

4. Self-energy — 무한한 전극을 유한한 행렬로

왼쪽 전극 블록을 소거(downfolding)하면 device 블록에 다음 항이 더해진다.

$$\Sigma_L(E) = \tau_L(E)\, g_L(E)\, \tau_L^\dagger(E), \qquad \tau_L(E) = H_{DL} - E\,S_{DL}$$

$g_L(E)$는 반무한 왼쪽 전극의 surface Green 함수로, 전극 단위셀의 $H$, $S$로부터 재귀적으로 계산된다. 전극이 주기적이기 때문에 무한 행렬을 실제로 뒤집을 필요 없이 셀 단위 재귀로 수렴시킬 수 있다 — 이것이 챕터 05에서 전극 계산을 별도로 수행해 Hamiltonian(TSHS 파일)을 저장하는 이유다. $\Sigma_R$도 같은 방식이다.

self-energy는 일반적으로 에너지 의존적인 비에르미트 행렬이며, 그 물리는 두 부분으로 갈린다.

• 실수부 — 전극과의 결합이 device 준위를 이동시킨다 (level shift).
• 허수부 — 준위에 유한한 수명을 부여한다. 전자가 device에 영원히 머물지 않고 전극으로 빠져나갈 수 있기 때문이다.

허수부를 따로 떼어 정의한 것이 broadening 행렬이다.

$$\Gamma_\alpha(E) = i\bigl[\Sigma_\alpha(E) - \Sigma_\alpha^\dagger(E)\bigr], \qquad \alpha = L, R$$

$\Gamma_\alpha$는 에르미트 행렬이고, 챕터 00 단일 준위 모델의 결합 세기 $\gamma_{1,2}$의 행렬 일반화다. 준위 폭 $\gamma$와 수명 $\tau = \hbar/\gamma$의 관계도 그대로 이어진다.

5. Spectral function과 DOS

Green 함수의 반에르미트 성분이 spectral function이다.

$$A(E) = i\bigl[G(E) - G^\dagger(E)\bigr] \;\xrightarrow{\ \eta \to 0\ }\; G\,(\Gamma_L + \Gamma_R)\,G^\dagger$$

spectral function은 "에너지 $E$에서 device가 제공하는 상태"를 담는 객체로, 전극별 기여로 자연스럽게 갈라진다.

$$A = A_L + A_R, \qquad A_\alpha = G\,\Gamma_\alpha\,G^\dagger$$

$A_L$은 왼쪽 전극에서 주입되어 device에 형성되는 산란 상태의 스펙트럼 밀도다. 상태 밀도(DOS)는 비직교 기저에서 overlap을 끼워 얻는다.

$$\mathrm{DOS}(E) = \frac{1}{2\pi}\,\mathrm{Tr}\bigl[A(E)\,S\bigr]$$

TBtrans가 출력하는 device DOS와 spectral DOS(ADOS)가 정확히 이 양들이다(챕터 07).

6. Transmission — Caroli 공식

transmission 함수는 Green 함수와 두 broadening 행렬로 표현된다.

$$T(E) = \mathrm{Tr}\bigl[\Gamma_L(E)\, G(E)\, \Gamma_R(E)\, G^\dagger(E)\bigr]$$

이 표현을 Caroli 공식이라 부른다 (Caroli et al. [2]). 읽는 법: 왼쪽 전극에서 주입되고($\Gamma_L$), device를 통해 전파되어($G$), 오른쪽 전극으로 빠져나가는($\Gamma_R$) 진폭의 총합이다. 이렇게 얻은 $T(E)$를 Landauer 적분

$$I = \frac{2e}{h}\int T(E)\,\bigl[f_L(E) - f_R(E)\bigr]\,dE$$

에 넣으면 전류가 나온다(챕터 08). $T(E)$를 채널별로 대각화해 분해하는 것이 eigenchannel 분석이다(챕터 10).

7. $\eta$ — 물리량이 아닌 수치 파라미터

$G(E)$ 정의의 $E + i\eta$에서 $\eta$는 retarded 해(인과율을 만족하는 branch)를 고르기 위한 무한소이며, 수치 계산에서는 유한한 값을 넣을 수밖에 없다. 분명히 해 둘 것: $\eta$는 물리량이 아니다. 물리적 broadening은 self-energy의 허수부($\Gamma$)가 담당하고, $\eta$는 계산을 안정화하는 수치 파라미터일 뿐이다.

• $\eta$가 너무 크면 모든 스펙트럼 구조가 인위적으로 폭 $\eta$만큼 퍼진다. 1D 계는 van Hove 특이점과 날카로운 공명이 많아 특히 민감하다.
• $\eta$가 작으면 그만큼 에너지 그리드가 촘촘해야 한다. 폭 $\eta$의 구조를 그리드가 분해하지 못하면 스펙트럼이 들쭉날쭉해 보인다. 이 튜토리얼의 표준은 $\eta = 0.001\ \mathrm{eV}$(TBtrans의 TBT.Contours.Eta)이며, 에너지 그리드 간격은 $\eta$ 이하로 잡는다.

$\eta$ 수렴 테스트는 Advanced: η broadening에서 따로 다룬다.

8. TranSIESTA와 TBtrans의 역할 분담

지금까지의 공식은 Hamiltonian $H$가 주어졌다고 가정했다. 그런데 DFT에서 $H$는 전자 밀도의 범함수이고, 열린 계의 밀도는 다시 Green 함수로부터 온다.

$$\rho = \frac{1}{2\pi}\int dE\,\bigl[A_L(E)\,f_L(E) + A_R(E)\,f_R(E)\bigr]$$

이 식이 NEGF의 "NE(비평형)"가 실제로 작동하는 지점이다. bias가 걸리면 왼쪽에서 주입되는 상태는 $\mu_L$까지, 오른쪽에서 주입되는 상태는 $\mu_R$까지 채워진다 — 하나의 Fermi 준위로 기술할 수 없는 진정한 비평형 밀도다. 따라서 $\rho \to H[\rho] \to G \to \rho$의 자기일관(self-consistent) 루프를 돌아야 하며, 이것이 TranSIESTA의 일이다. 실무적으로는 적분을 평형 부분(복소 contour에서 안정적으로 계산)과 bias window의 비평형 부분(실축 근처에서 계산, 수치적으로 까다로움)으로 나누어 수행한다.

수렴된 $H$를 얻고 나면, $T(E)$·DOS·PDOS 같은 스펙트럼 양은 자기일관 없이 에너지별 Green 함수 계산만으로 뽑을 수 있다. 이것이 TBtrans의 일이며, 훨씬 저렴하고 에너지 그리드·$\eta$·k-그리드를 자유롭게 바꿔가며 재실행할 수 있다.

코드	하는 일	산출물
TranSIESTA	열린 경계조건 + (finite bias 시) 비평형 밀도로 자기일관 SCF	수렴된 $H$ (TSHS), 밀도 (TSDE)
TBtrans	수렴된 $H$ 위에서 후처리 transport	$T(E)$, DOS, PDOS (TBT.nc)

0 V에서는 $f_L = f_R$이라 TranSIESTA가 사실상 "열린 경계조건 SCF"이고(챕터 06), finite bias에서 비로소 비평형 항이 켜진다(챕터 09).

핵심 요약

객체	정의	물리적 의미
$G(E)$	$[(E+i\eta)S - H - \Sigma_L - \Sigma_R]^{-1}$	열린 device의 retarded 전파자
$\Sigma_\alpha(E)$	$\tau_\alpha\, g_\alpha\, \tau_\alpha^\dagger$	반무한 전극 $\alpha$의 효과 (준위 이동 + 수명)
$\Gamma_\alpha(E)$	$i(\Sigma_\alpha - \Sigma_\alpha^\dagger)$	전극 $\alpha$와의 결합에 의한 broadening
$A(E)$	$i(G - G^\dagger) = A_L + A_R$	스펙트럼 밀도, $\mathrm{DOS} = \mathrm{Tr}[AS]/2\pi$
$T(E)$	$\mathrm{Tr}[\Gamma_L G \Gamma_R G^\dagger]$	왼쪽 → 오른쪽 투과 확률 (Caroli)
$\eta$	$E + i\eta$의 수치 파라미터	물리량 아님. 그리드 간격과 동반 설정

연습문제

1. 단일 준위 toy model. device가 궤도 1개($H = \epsilon$, $S = 1$)이고 wide-band 근사로 $\Sigma_\alpha = -i\gamma_\alpha/2$(에너지 무관)라 하자. $G(E)$, $\Gamma_\alpha$, 그리고 $T(E) = \dfrac{\gamma_L \gamma_R}{(E-\epsilon)^2 + \bigl(\tfrac{\gamma_L + \gamma_R}{2}\bigr)^2}$ 를 유도하라. 대칭 결합($\gamma_L = \gamma_R$)일 때 공명 정점에서 $T(\epsilon) = 1$임을 확인하라 — 결합이 아무리 약해도 공명 투과는 완벽하다.

2. spectral function 항등식. $G^{-1} - (G^\dagger)^{-1} = -(\Sigma_L - \Sigma_L^\dagger) - (\Sigma_R - \Sigma_R^\dagger) + 2i\eta S$에서 출발해, $\eta \to 0$일 때 $A = G(\Gamma_L + \Gamma_R)G^\dagger$가 성립함을 보여라.

3. $\eta$의 영향. 문제 1의 공명 폭이 $\gamma_L + \gamma_R = 2\ \mathrm{meV}$라 하자. $\eta = 50\ \mathrm{meV}$로 계산하면 $T(E)$ 봉우리의 높이와 폭이 어떻게 왜곡되는지 정성적으로 논하고, 적절한 $\eta$와 에너지 그리드 간격을 제안하라.

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Ref: Datta [1]; Caroli et al. [2]; Brandbyge et al. [3]; Papior et al. [4].