벌크·계면 transport

NEGF + TBtrans 파이프라인은 분자 접합 전용이 아니다. 전극과 산란 영역이라는 구도만 유지되면 완전 결정, 금속 계면, 2D 시트까지 같은 워크플로우로 계산할 수 있다. 이 장에서는 분자가 등장하지 않는 일반 시스템 세 유형을 정리하고, 1D vacuum 계와 정반대로 transverse k-평균이 결과의 일부가 된다는 점, 그리고 기존 1D 튜토리얼의 각 챕터가 어디까지 그대로 적용되는지를 매핑한다.

학습 목표

• 전극과 device가 같은 물질인 perfect crystal 계산에서 $T(E)$가 밴드(채널) 수 counting이 됨을 설명할 수 있다.
• 계면/이종접합·2D 시트 transport의 device 구성 원리를 1D 접합과 같은 언어로 기술할 수 있다.
• $T(E)$의 transverse k-평균 정의를 쓰고, 3D/2D 계가 $\eta$에 덜 민감한 이유를 설명할 수 있다.
• 새 물질·새 전극으로 transport를 시작할 때의 절차 체크리스트를 적용할 수 있다.

세 가지 대표 유형

유형 1 — perfect crystal: ballistic 검증의 기준계

전극과 device가 같은 물질의 같은 결정이면 산란체가 없다. 이때 각 $\mathbf{k}_\parallel$에서의 transmission은 그 에너지에서 transport 방향으로 열려 있는 Bloch 밴드의 개수와 정확히 같다.

$$T(E, \mathbf{k}_\parallel) = N_{\mathrm{band}}(E, \mathbf{k}_\parallel) \in \{0, 1, 2, \dots\}$$

즉 perfect crystal의 $T(E)$는 밴드 구조(챕터 02)를 다른 방식으로 세는 것이다. 밴드 그림 위에서 미리 그려볼 수 있다 — 고정된 $\mathbf{k}_\parallel$에서 에너지 $E$에 수평선을 긋고, transport 방향 밴드와 만나는 횟수(진행 방향이 양인 상태 수)를 세면 그것이 $T(E, \mathbf{k}_\parallel)$다.

 (고정 k∥에서) 에너지 수평선이 가로지르는 밴드 수   ->   T(E, k∥)
   밴드 2개가 지나는 구간                              2
   밴드 1개만 지나는 구간                              1
   gap (밴드 없음)                                     0

계산으로서의 의미는 셋업 검증에 있다. 새 전극·새 물질로 transport를 시작할 때 첫 계산은 항상 pristine 시스템이어야 하고, $T(E, \mathbf{k}_\parallel)$가 위의 정수 계단을 회복하지 못하면 물리가 아니라 셋업($\eta$ 과대, 전극-device 격자 불일치, principal layer 위반)의 문제다. 1D 예제에서 pristine chain의 정수 plateau로 했던 검증(챕터 07)의 일반화다. bulk에서는 방향도 변수다 — 같은 결정이라도 transport 축을 어느 결정 방향으로 잡느냐에 따라 그 방향으로 열린 채널 수가 달라지므로, $T(E)$는 방향 의존량이다.

유형 2 — 계면·이종접합

금속 A/금속 B 접합, 또는 같은 물질 안의 결함층(적층 결함, 불순물 층)이 이 유형이다. device는 [A 전극 복제] + [계면·결함 영역 + 완충 층] + [B 전극 복제]로 조립하고, 왼쪽·오른쪽 TS.Elec 블록이 서로 다른 TSHS를 가리키게 하면 된다 — 블록 구조 자체는 챕터 06과 같다. 주의할 점 두 가지:

• transverse 격자 정합. 두 물질의 표면 cell이 같은 transverse 격자를 공유해야 한다. 격자가 다르면 한쪽에 변형(strain)을 가해 맞추게 되는데, 그 변형 자체가 전자구조를 바꾸므로 어느 쪽을 얼마나 변형했는지 명시해야 한다.
• 같은 물질 안의 결함층은 더 단순하다. 적층 결함·불순물 층처럼 전극이 좌우 동일한 경우는 격자 정합 문제가 없고, 구도가 1D 예제의 C19N(pristine 전극 + 중앙 치환)과 완전히 같다 — 챕터 06의 device 조립 논리를 그대로 3D로 옮기면 된다.
• 계면 dipole과 완충 길이. 일함수가 다른 두 금속이 만나면 계면에 전하 이동과 dipole이 생긴다. 그 정전 교란이 device 안에서 감쇠를 끝내야 하므로, 경계 층 potential/DOS의 bulk 일치 판정(scattering region 수렴)이 그대로 적용된다.

두 전극의 Fermi 준위 정렬은 SCF가 해결한다

0 V에서 두 전극은 공통 화학 퍼텐셜을 공유한다($\mu_L = \mu_R = E_F$). 물질 A와 B의 일함수가 달라도 사용자가 준위를 수동으로 정렬할 필요는 없다 — TranSIESTA SCF가 계면에 전하를 재배치해 dipole을 만들고, 그 dipole이 두 bulk의 정전 퍼텐셜 offset을 흡수한다. 사용자가 확인할 것은 정렬 자체가 아니라 그 dipole의 교란이 device 경계에 닿기 전에 감쇠했는가다.

유형 3 — 표면·2D 시트

그래핀 같은 2D 물질의 면내 transport는 방향 구성만 다르다: transport 방향(주기, k = 1로 두고 self-energy가 담당), 면내 transverse 방향(주기, k dense), 면외 방향(vacuum, k = 1). 즉 1D chain(transverse가 모두 vacuum)과 3D bulk(transverse가 모두 주기)의 중간 구성이며, transverse k-평균은 한 방향에 대해서만 수행된다. 그래핀에서는 transport 축의 결정 방향(zigzag/armchair)도 명시해야 하는 설계 변수이고, $E_F$ 근방의 상태가 Dirac point(BZ의 특정 $\mathbf{k}$) 주변에 몰려 있으므로 transverse k가 성기면 low-energy transmission을 통째로 놓친다 — 2D 계에서 k 수렴 테스트가 특히 중요한 이유다.

세 유형의 방향 구성을 1D 예제와 함께 정리하면 다음과 같다.

계	transport	transverse 주기	vacuum	TBtrans k-grid 꼴
1D chain (챕터 05–09)	$z$	없음	$x$, $y$	$1\times1\times1$
2D 시트 (유형 3)	$x$	$y$	$z$	$1\times n\times1$
3D bulk (유형 1·2)	$z$	$x$, $y$	없음	$n\times n\times1$

정규화 — cell 크기가 다르면 T는 직접 비교되지 않는다

transmission은 transverse cell을 통과하는 채널 수이므로 cell 크기에 비례해 커진다. 3D bulk에서는 단위 면적당($T/A$), 2D 시트에서는 단위 폭당($T/W$)으로 정규화해야 transverse cell이 다른 계산·문헌과 비교할 수 있다. 결함 하나의 산란을 보는 계산이라면 반대로 pristine 대비 비($T/T_{\mathrm{pristine}}$)가 cell 크기에 덜 민감한 지표다 — 어느 정규화를 썼는지 축 라벨에 명시한다.

transverse k-평균은 결과의 일부다

1D vacuum 계에서 k-점은 수렴 파라미터일 뿐이었지만($\Gamma$ 하나로 충분), transverse가 주기적인 계에서 관측량은 k-평균이다.

$$T(E) = \frac{1}{N_{k}} \sum_{\mathbf{k}_\parallel} T(E, \mathbf{k}_\parallel)$$

$\mathbf{k}_\parallel$마다 밴드 구조가 다르므로 열린 채널 수 $T(E, \mathbf{k}_\parallel)$의 정수 계단이 k마다 다른 에너지에서 오르내리고, 평균하면 매끄러운 곡선이 된다. 이 자연스러운 평균화 덕분에 3D/2D 계는 수치 broadening $\eta$에 상대적으로 덜 민감하다 — 개별 k의 날카로운 구조(band edge, van Hove 특이점)가 평균에 씻겨 들어가기 때문이다. 반대로 1D vacuum 계는 k-평균이 없어 $\eta$ 수렴에 특히 민감했다(η broadening artifact의 "1D 시스템의 특수성"과 같은 내용을 반대편에서 본 것이다). 덜 민감하다는 것이 면제는 아니므로, $\eta$ 시리즈와 k 시리즈 수렴 확인은 여전히 수행한다.

k-수렴의 판정량

transverse k 수렴은 "총 에너지가 수렴했는가"가 아니라 **"$T(E)$ 곡선이 더 조밀한 grid와 겹치는가"**로 판정한다. $T(E_F)$ 한 점이 아니라 관심 에너지 창 전체의 overlay로 확인한다 — scattering region 수렴에서 길이 수렴을 판정하던 것과 같은 원칙이다.

k-분해 transmission은 챕터 07에서 쓴 sisl 경로 그대로 trans.TBT.nc에서 꺼낸다. k-평균이 기본값이고, kavg 인자로 k별 곡선을 받을 수 있다.

k-분해 T(E) 추출 (sisl)

import numpy as np
from sisl.io.tbtrans import tbtncSileTBtrans

t = tbtncSileTBtrans("trans.TBT.nc")

E     = t.E                                          # E - E_F (eV)
T_avg = t.transmission(*t.elecs[:2])                 # k-평균 (기본)
T_k   = t.transmission(*t.elecs[:2], kavg=False)     # k별 — 정수 계단이 보인다
w     = t.wkpt                                       # k-점 weight

# 자가 검증: weight 평균이 k-평균과 일치해야 한다
assert np.allclose((w[:, None] * T_k).sum(axis=0), T_avg)

perfect crystal에서 T_k의 각 행은 정수 계단이고 T_avg는 매끄러운 곡선이어야 한다 — 두 성질을 한 번에 확인하는 것이 위 유형 1의 셋업 검증이다.

실습으로 가장 싼 계 — Au 단원자 chain

무거운 bulk 예제 입력을 만들기 전에, 금속 전극의 감각은 1D Au 단원자 chain으로 가장 싸게 익힐 수 있다. 구조는 챕터 05의 carbon chain에서 원소만 Au로 바꾼 것이고(transverse vacuum, transport 방향 주기), 격자상수는 챕터 03 절차대로 chain 자체를 relax해 확정한다. Au는 상대론 효과가 격자·밴드에 크게 들어가는 원소이므로 scalar-relativistic pseudopotential을 쓰는지 확인한다. 이 계는 $E_F$를 가로지르는 밴드가 6s 하나뿐이라 단일 채널 계다 — pristine에서 $T(E_F) = 1$ plateau가 기대되고, 실제 Au 원자 wire의 전도도가 $1\,G_0$로 측정되는 것과 대응된다. carbon chain의 이중 축퇴 $\pi$ 채널($T(E_F) = 2$)과 대비되는 좋은 연습이다. $E_F$ 아래로 내려가면 5d 유래 밴드가 채널을 더한다. 이 계는 여전히 transverse vacuum 1D이므로 k-평균 없이 챕터 05–07 워크플로우가 그대로 돌아가며, 3D Au 전극(금속 전극 분자 접합)으로 가기 전의 디딤돌로 적합하다.

절차 체크리스트 — 새 물질로 transport를 시작할 때

1. 전극 cell 선정 — bulk relax로 격자를 확정하고, transport 방향의 최소 주기 단위를 잡는다(fcc [111]이면 ABC 3층 주기, 필요시 정수배).
2. principal layer 검증 — 인접 cell 너머 hopping이 없는지 orbital 도달거리로 판정한다(챕터 05 조건 2). 애매하면 transport 방향으로 cell을 늘린다.
3. device 조립 — 전극 복제 영역 + 관심 영역(계면/결함) + 완충 층. 전극 복제 영역은 전극 cell과 원자 단위로 동일하게, 완충 길이는 scattering region 수렴 기준으로.
4. pristine 검증 — 결함·계면 없는 perfect crystal로 $T(E)$ 정수 구조를 먼저 확인한다(유형 1). 여기서 실패하면 이후 결과는 신뢰할 수 없다.
5. transverse k 수렴 테스트 — TBtrans k를 단계적으로 올려($4\times4 \to 8\times8 \to 16\times16$ 식) $T(E)$ overlay로 판정한다. TBT.kgrid_Monkhorst_Pack 블록은 input.fdf 맨 마지막에 둔다(챕터 07 함정 2).

실무 메모 — 비용은 어디서 커지나

1D chain에서 3D bulk로 가면 계산 비용의 구조가 달라진다. 세 가지가 곱으로 쌓인다.

• 행렬 크기 — device Green function은 산란 영역 orbital 수에 대해 세제곱으로 비싸진다. 3D는 층당 원자 수가 많아(3×3 Au(111)이면 층당 9원자) 산란 영역 orbital이 1D보다 훨씬 크므로, TBT.Atoms.Device로 Green function을 푸는 영역을 산란 영역으로 좁히는 절약(챕터 07)이 1D에서보다 중요해진다.
• k-점 수 — transverse k마다 독립적인 계산이므로 비용은 $N_k$에 선형이다. 대신 k-점 간 통신이 없어 병렬화가 쉽다(챕터 12).
• 에너지 점 수 — 1D와 동일하게 에너지 grid에 선형. 총 비용은 대략 (에너지 점) × (k-점) × (행렬 연산)의 곱으로 어림한다.

수렴 테스트(완충 길이, k, $\eta$)를 계획할 때 이 곱을 미리 어림해 두면, 어느 축의 수렴 시리즈가 비싼지 — 그래서 어느 축부터 고정할지 — 를 계산 전에 판단할 수 있다.

1D 튜토리얼 챕터 매핑

기존 챕터의 절차가 transverse 주기 계에서 어디까지 유효한지 정리한다.

챕터	적용	비고
05 전극	k-샘플링만 다름	transverse k가 dense로 추가될 뿐, principal layer 판정·TS.HS.Save 절차 동일
06 device 0 V	k-샘플링만 다름	device SCF에 transverse k($n\times n\times1$). TS.ChemPots/TS.Elecs/contour 블록 구조 동일
07 TBtrans	주의	미니멀 옵션 세트는 동일하나, transverse k가 결과의 일부 — TBT.kgrid_Monkhorst_Pack을 input.fdf 맨 마지막에, k 수렴 테스트 필수
08 Landauer I–V	동일	k-평균된 $T(E)$에 같은 적분 공식 적용
09 finite bias	동일	TSDE 이어받기·bias chain 파일 규칙 그대로
10 eigenchannel	주의	eigenchannel은 $\mathbf{k}_\parallel$마다 정의된다. 특정 k(통상 $\Gamma$)에서 분석하고, k-평균 $T(E)$와 직접 비교할 때는 어느 k의 채널인지 명시
11 level alignment	주의	분자 부분공간을 전제로 한 보정 — 분자 없는 bulk·계면 계에는 적용 대상이 없다
12 HPC 병렬화	동일	k-점·에너지점 병렬화 이점이 오히려 커진다

표의 요지는 이렇다 — 파일 구조와 실행 절차는 그대로 재사용하고, k-샘플링과 그 위치 규칙만 새로 검증하면 된다. "동일"로 표시된 챕터는 입력을 복사해 경로만 바꿔도 되지만, "주의" 챕터는 해당 비고를 먼저 읽고 진행한다.

권장 학습 경로도 여기서 나온다. 유형 1(pristine perfect crystal)로 셋업을 검증한 다음에 계면·결함(유형 2)으로 가고, 분자 접합이 목표라면 그 위에 anchoring·산란 영역 설계가 얹힌 금속 전극 분자 접합 장으로 넘어간다. 어느 경로든 pristine 검증을 건너뛴 결과는 신뢰할 수 없다는 원칙은 같다.

연습문제

1. Au 단원자 chain — 챕터 05–07을 원소만 Au로 바꿔 반복하라. pristine에서 $T(E_F) = 1$ plateau를 확인하고, $E_F$ 아래로 내려가며 5d 유래 채널이 열리는 에너지를 $T(E)$ 계단과 밴드 구조(챕터 02 방식) 양쪽에서 찾아 서로 대응시켜라.
2. k-분해 검증 — transverse 주기 계 하나를 골라(또는 설계만 하고) 위 스니펫의 T_k를 에너지 축에 겹쳐 그리는 플롯을 계획하라. 각 k 곡선이 정수 계단인지, weight 평균이 T_avg를 재현하는지, k 수를 늘릴 때 T_avg가 어떻게 매끄러워지는지를 판정 기준으로 명시하라.
3. 계면 설계 연습 — 금속 A/금속 B 접합 device를 조립하는 계획서를 작성하라. transverse cell 정합(어느 쪽을 변형할지), 계면당 완충 층 수의 초기값과 수렴 판정 산출물, pristine 대조 계산 두 개(A만, B만)의 역할을 포함해야 한다.

참고문헌

• M. Brandbyge, J.-L. Mozos, P. Ordejón, J. Taylor, and K. Stokbro, "Density-functional method for nonequilibrium electron transport", Phys. Rev. B 65, 165401 (2002). DOI 10.1103/PhysRevB.65.165401
• N. Papior, N. Lorente, T. Frederiksen, A. García, and M. Brandbyge, "Improvements on non-equilibrium and transport Green function techniques: The next-generation TRANSIESTA", Comput. Phys. Commun. 212, 8 (2017). DOI 10.1016/j.cpc.2016.09.022
• M. P. López Sancho, J. M. López Sancho, and J. Rubio, "Quick iterative scheme for the calculation of transfer matrices", J. Phys. F: Met. Phys. 14, 1205 (1984). DOI 10.1088/0305-4608/14/5/016